题目内容

设α(·)是定义在[a，b]上的有界可测函数。乘法算子
(Tx)(t)=α(t)x(t)
在L²[a，b]中有可能是紧算子吗？

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设M₀是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M₀中定义范数于下：
||x||=|x(a)|+Vab(x)
证明：M₀是不可分的巴拿赫空间。

设E是赋范线性空间，K∈E是紧集，x∈K。证明：存在K中元素y使得‖x-y‖=dist(x，K)

设E是n维线性空间，{e₁，e₂，…，e_n}是E的一个基，
(α_ij)(i，j=1，2，…，n)
是正定矩阵，对E中的元素x=∑_i=1ⁿx_ie_i及y=∑_i=1ⁿy_ie_i，定义
(x,y)=∑_i,j=1ⁿα_ijx_iy_j， ()
则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(α_ij)使()成立。

证明：内积空间中的任何规范正交系都是线性无关的。