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设E是赋范线性空间，K∈E是紧集，x∈K。证明：存在K中元素y使得‖x-y‖=dist(x，K)

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设E是n维线性空间，{e₁，e₂，…，e_n}是E的一个基，
(α_ij)(i，j=1，2，…，n)
是正定矩阵，对E中的元素x=∑_i=1ⁿx_ie_i及y=∑_i=1ⁿy_ie_i，定义
(x,y)=∑_i,j=1ⁿα_ijx_iy_j， ()
则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(α_ij)使()成立。

证明：内积空间中的任何规范正交系都是线性无关的。

说明空间Rⁿ，Cⁿ和离散距离空间不是紧空间。

设X=[0，1]∪{2，3，…}，ρ(x，y)=|x-y|，其中x，y∈X，判断：
(1)X是否完备？
(2)X是否可分？
(3)X是否完全有界？
(4)X是否是紧空间？