题目内容

设X=[0，1]∪{2，3，…}，ρ(x，y)=|x-y|，其中x，y∈X，判断：
(1)X是否完备？
(2)X是否可分？
(3)X是否完全有界？
(4)X是否是紧空间？

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证明：准紧集为紧集的充分必要条件是它为闭的。

设f∈C[0，1]，求积分方程
x(t)=f(t)+λ∫₀^tx(s)ds (t∈[0，1])的连续解。

设X是以ρ为距离的紧空间，T是X到它自身的映射。若对任何x，y∈X，当x≠y时，有
ρ(T_x，T_y)＜ρ(x，y)，
则T有惟一的不动点。

设f是可测集E上的可测函数，它使积分∫f(x)g(x)dm对任何g∈L²(E)都存在为有限。试证：f∈L²(E)。