题目内容

设n为一自然数，令P_n={k∈N:k为n的约数}。对任意a，b∈P_m，约定a≤b的意义为a是b的约数。试证：P_n以“≤”为序是一序集。又，欲使P_n为全序集，对n应有什么要求？

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试证明：
设E是由n个元素形成的集合．E₁，E₂，…，E_n+1是E的非空子集，则存在r，s个不同指标：
i₁，i₂，…，i_r；j₁，j₂，…，j_s，
使得E_i₁∪…∪E_{i_r}=E_j₁∪…∪E_{j_s}．

试证明：
(A∪B∪C)\(A∩B∩C)=(A△B)∪(B△C).

试证明：
设E是由某些有理数形成的集合，且满足
(i)若a∈E，b∈E，则a+b∈E，ab∈E；
(ii)对任一有理数r，恰有下述关系之一成立：
r∈E，-r∈E，r=0，
则E是全体正有理数形成的数集．

设α为无理数，则数集{mα+n:m，n∈Z}在R中稠密