下列说法中，与$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=A$不等价的是
A. $\forall \varepsilon \gt 0,\ \exists N\in {{\mathbb{N}}^{\text{+}}}$，当$ n \gt N $时，就有$|{{a}_{n}}-A|\lt\sqrt{\varepsilon }$
B. 对任意自然数$k$，都存在正整数${{N}_{k}}$，当$n\gt {{N}_{k}}$时，有$|{{a}_{n}}-A|\lt\frac{1}{{{2}^{k}}}$
C. $\forall \varepsilon \gt 0$，$\exists N\in {{\mathbb{N}}^{\text{+}}}$，只要$n\gt N$，就有$|{{a}_{n}}-A|\lt2\varepsilon $
D. $\forall \varepsilon \gt 0$，$\exists N\in {{\mathbb{N}}^{\text{+}}}$，只要$n\gt N$，就有$|{{a}_{n}}-A|\lt\frac{\varepsilon }{\sqrt{n}}$
下列说法中，与“$\{{{a}_{n}}\}$不收敛于$A$”等价的是
A. 存在${{\varepsilon }_{0}}\gt 0$，$\{{{a}_{n}}\}$中有无穷多项满足$|{{a}_{n}}-A|\ge {{\varepsilon }_{0}}$
B. 存在${{\varepsilon }_{0}}\gt 0$，及正整数$N$，只要$n\gt N$，就有$|{{a}_{n}}-A|\ge {{\varepsilon }_{0}}$
C. $\forall \varepsilon \gt 0$，$\exists N$，只要$n\gt N$，就有$|{{a}_{n}}-A|\ge \varepsilon $
D. $\{{{a}_{n}}\}$中除有限项外，都满足$|{{a}_{n}}-A|\ge {{\varepsilon }_{0}}$，其中${{\varepsilon }_{0}}$是某个正数
下列说法中，正确的是
A. 数列$\{{{a}_{n}}\}$是否收敛与其前1000项有关
B. 数列$\{{{a}_{n}}\}$是否收敛与其所有项均有关
C. 数列$\{{{a}_{n}}\}$是否收敛仅与$n$充分大以后的某些项有关
D. 数列$\{{{a}_{n}}\}$是否收敛仅与$n$充分大以后的所有项有关
下列数列中，极限为$0$的是
A. $\frac{{{\text{e}}^{n}}}{{{2}^{n}}}$
B. ${{(-1)}^{n}}\frac{1}{n}$
C. $n-\frac{1}{n}$
D. $n\sin (\frac{1}{n})$
下列数列中，极限为$1$的是
A. $\frac{n}{{{a}^{n}}}\ \ (a\gt 1)$
B. ${{a}^{\frac{1}{n}}}\ \ (a\gt 1)$
C. $\frac{\sin {{n}^{2}}}{n}$
D. $\frac{n\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}(2n-1)}$
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