题目内容

1．下列数列中，收敛但极限不为$1$的是

A. ${{(2+\frac{1}{n})}^{\frac{1}{n}}}$
B. ${{n}^{\frac{1}{n}}}$
C. $\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{2}{{{n}^{2}}+2}+\cdots +\frac{n}{{{n}^{2}}+n}$
D. $\frac{{{(n!)}^{2}}}{{{n}^{n}}}$

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2．下列说法中，错误的是( )。

A. 数列$\{{{a}_{n}}\}$单调，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$的充要条件是存在$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的子列$\{{{a}_{{{n}_{k}}}}\}$满足$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{{{n}_{k}}}}=a$
B. 若数列$\{{{a}_{n}}\}$不收敛，则必存在两个子列$\left\{ a_{{{n}_{k}}}^{(1)} \right\}$和$\left\{ a_{{{n}_{k}}}^{(2)} \right\}$分别收敛于两个不同的值
C. 若数列$\{{{a}_{n}}\}$无界，但非无穷大，则必存在一个无穷大子列和一个收敛子列
D. 设$S$为非空有上界的实数集。若$\sup S=a\notin S$，则存在单调增加数列$\{{{a}_{n}}\}\subset S$使得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$

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1．考察区间$(0,1)$中所有的有理点排成的点列$\left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\cdots \right\}$，给出下列四个结论：① 对任意的$x\in [0,1]$，均有该点列的一个子列收敛于$x$②不存在$x\in [0,1]$，使得该点列的一个子列收敛于$x$③仅存在有限个$x\in [0,1]$，使得该点列的一个子列收敛于$x$④至少存在有限个$x\in [0,1]$，使得该点列的任何一个子列都不收敛于$x$其中正确的结论个数是( )。

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

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4．函数$f(x)=\left\{ \begin{align} 2x,\quad x> 0 \\ a\cos x+b\sin x,\quad \,x< 0 \end{align} \right.$ 在$x=0$处( )。

A. 极限存在
B. 极限不存在
C. 当且仅当$a=0,b=0$时极限存在
D. 当且仅当$a=0$时极限存在

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3．函数$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin \frac{1}{x} , \quad x > 0 \\ x\sin \frac{1}{x} , \quad x< 0 \\ \end{array} \right.$ 在$x=0$处( )。

A. 左右极限均存在且都为$0$
B. 左右极限均不存在
C. 左极限存在，但右极限不存在
D. 左右极限都存在但不相同

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1．下列数列中，收敛但极限不为$1$的是

A. ${{(2+\frac{1}{n})}^{\frac{1}{n}}}$ B. ${{n}^{\frac{1}{n}}}$ C. $\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{2}{{{n}^{2}}+2}+\cdots +\frac{n}{{{n}^{2}}+n}$ D. $\frac{{{(n!)}^{2}}}{{{n}^{n}}}$

2．下列说法中，错误的是( )。

4．函数$f(x)=\left\{ \begin{align} 2x,\quad x> 0 \\ a\cos x+b\sin x,\quad \,x< 0 \end{align} \right.$ 在$x=0$处( )。

3．函数$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin \frac{1}{x} , \quad x > 0 \\ x\sin \frac{1}{x} , \quad x< 0 \\ \end{array} \right.$ 在$x=0$处( )。

A. ${{(2+\frac{1}{n})}^{\frac{1}{n}}}$
B. ${{n}^{\frac{1}{n}}}$
C. $\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{2}{{{n}^{2}}+2}+\cdots +\frac{n}{{{n}^{2}}+n}$
D. $\frac{{{(n!)}^{2}}}{{{n}^{n}}}$