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设X是以ρ为距离的紧空间,T是X到它自身的映射。若对任何x,y∈X,当x≠y时,有
ρ(Tx,Ty)<ρ(x,y),
则T有惟一的不动点。

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设f是可测集E上的可测函数,它使积分∫f(x)g(x)dm对任何g∈L2(E)都存在为有限。试证:f∈L2(E)。

设X是无限集。X上的拓扑τ由X的有限子集的余集及空集组成。证明:X的任一无限子集按照拓扑τ在X中稠密,即对任一x

若f(x)是E上的有界可测函数,且m(E)<∞,则
f∈L(E)

设由[0,1]中取n个可测子集E1,E2,…,En假定[0,1]中任一点至少属于这n个集中的P个,试证:这n个子集中必有一集,它的测度不小于5。

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