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证明：从R²到R²的下列算子
T₁:(ξ₁，ξ₂)→(ξ₁，0)，
T₂:(ξ₁，ξ₂)→(0，ξ₂)，
T₃:(ξ₁，ξ₂)→(ξ₂，ξ₁)，
T₄:(ξ₁，ξ₂)→(rξ₁，rξ₂)
均是线性算子，并从几何上予以解释。

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证明：
(1) (αS+βT)^=αS^+βT^，当α，β∈K；
(2)(ST)^=T^S^；
(3)(T^)^-1=(T^-1)^

在二维线性空间K²中引入范数
‖x‖=‖ξ₁‖+‖ξ₂‖，x=(ξ₁，ξ₂)∈K²，
构成赋范线性空间。在K²上定义泛函f，即
f(x)=αξ₁+βξ₂，x=(ξ₁，ξ₂)∈K²，
求‖f‖

设α(·)是定义在[a，b]上的函数。令
(Tx)(t)=α(t)x(t) (x∈C[a，b])，
则T是由C[a，b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a，b]上连续。

设g(·)是可测集G上的可测函数，如果对任何。f∈L(G)，f(·)g(·)可积，则g是本性有界的。