题目内容

试证：巴拿赫空间E中的点集M是准紧的一个充分条件是：
(1)M是有界的；
(2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{T_n}，使得在M上一致地有
‖T_nx-x‖→0 (x∈M)

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举例说明存在有界线性但非紧的算子T使得T²是紧算子甚至是有限秩算子.

设α(·)是定义在[a，b]上的有界可测函数。乘法算子
(Tx)(t)=α(t)x(t)
在L²[a，b]中有可能是紧算子吗？

设M₀是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M₀中定义范数于下：
||x||=|x(a)|+Vab(x)
证明：M₀是不可分的巴拿赫空间。

设E是赋范线性空间，K∈E是紧集，x∈K。证明：存在K中元素y使得‖x-y‖=dist(x，K)