如果函数$f(x)$和$g(x)$可导，那么以下说法中正确的是( )。
A. 若$f(x)$在区间$[a,b]$上单调增加，则$f\prime (x) \gt 0$在$[a,b]$上恒成立
B. 若$f\prime (x)$在区间$[a,b]$上恒为零，则函数$f(x)$在$[a,b]$上恒为常数
C. 若在$[a,b]$上恒有$f\prime (x)=g\prime (x)$，则$f(x)=g(x)$在$[a,b]$上恒成立
D. 若存在$\xi $使得$f\prime (\xi )=0$，则存在$(a,b)$使得$\xi \in (a,b)$，且$f(a)=f(b)$
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如果函数$f(x)$可导，那么以下Lagrange定理的形式错误的是( )。
A. $f(b)-f(a)=f\prime (\xi )(b-a)$，$\xi \in (a,b)$
B. $f(x)=f({{x}_{0}})+f\prime ({{x}_{0}}+\theta \Delta x)\Delta x$，$\theta \in (0,1)$，$\Delta x=x-{{x}_{0}}$
C. $f(b)-f(a)=f\prime (a+\theta (b-a))(b-a)$，$\theta \in (0,1)$
D. $f\prime (a+\theta b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，$\theta \in (0,1)$
以下关系式中，正确的是( )。
A. $2\arctan x+\arcsin \frac{2x}{1+{{x}^{2}}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$,$|x|\ge 1$
B. $\arctan x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$,$-\infty \lt x \lt \infty $
C. $\arcsin x+\arccos x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，$|x|\le 1$
D. $\arcsin x=\arctan \frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，$|x| \lt 1$
极限$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\sin x}}$( )。
A. 等于$1$
B. 等于$0$
C. 等于$-1$
D. 不存在
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{x}-\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}-1})=$( )。
A. $2$
B. $0$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
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