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设E_n为可测集列， E_i(f＞α)=E_f＞α∩E_i，试证：f在E上可测的充要条件是f限制在每个E_n上均可测，n∈N。

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设函数列f_n(x)在E上测度收敛于f(x)，而f_n(x)～g_n(x)，n∈N，证明g_n(x)在E上也测度收敛于f(x)。

在(0，1]上定义函数f(x)如下：若x∈(0，1]在十进位小数表示式(采用无穷位小数表示)为
x=0.a₁a₂…a_k…，
则令f(x)=max{a_k：k∈N}，试证明f(x)在(0，1]上可测.

设f(x)是R¹上几乎处处连续的函数，试问是否存在g∈C(R¹)，使得g(x)=f(x)，a.e.x∈R¹．

设f∈C([a，b])．若有定义在[a，b]上的函数g(x)：g(x)=f(x)，a.e.x∈[a，b]，试问g(x)在[a，b]上必是几乎处处连续的吗？