题目内容

若随机变量\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则\(P\{a\lt X\lt b\}\)可通过计算定积分\(\int_a^b{f_X(x)dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_a^b{e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}\)得到。

查看答案

搜索结果不匹配？点我反馈

更多问题

若\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则其概率密度为：\(f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)。当\(\mu=0,\sigma=1\)时，称此随机变量服从标准正态分布，其概率密度一般记作\(\varphi(x)\)，分布函数一般记作\(\varPhi(x)\)。

若\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则新的随机变量\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). 以下证明是否正确？证明：记\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)，则其分布函数\[F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\left\{\dfrac{X-\mu}{\sigma}\le z\right\}=P\{X\le \sigma z+\mu\}=F_X(\sigma z+\mu).\]于是\[f_Z(z)=\frac{d}{dz}{\left[F_Z(z)\right]}=\frac{d}{dz}{\left[F_X(\sigma z+\mu)\right]}=f_X(\sigma z+\mu)\cdot \sigma\\\qquad\qquad=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(\sigma z+\mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{z^2}{2}}=\varphi(z).\]即\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\).

若\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则其分布函数\(F_X(x)=P\{X\le x\}=P\left\{\dfrac{X-\mu}{\sigma}\le \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right\}\)，而\(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)，于是\(F_X(x)=\varPhi(\dfrac{x-\mu}{\sigma})\).

积分\(\int_0^1{e^{\frac{{-x^2}}{2}}dx}\)可通过标准正态分布的分布函数化为：\(\sqrt{2\pi}\left[\varPhi(1)-\varPhi(0)\right]\)，然后查表得到。