题目内容

试证明：
设f(x)定义在可测集E上．若f²(x)在E上可测，且{x∈E：f(x)＞0}是可测集，则f(x)在E上可测．

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试证明：
设f(x)是定义在区间[a，b]上的单调函数，则f(x)是[a，b]上的可测函数.

试问：f_n(x)=(cosx)ⁿ在[0，π]上依测度收敛于0吗？又函数列
在[0,1]上依测度收敛于0吗？

设f(x)，f_k(x)(k=1，2，…)是E上实值可测函数，若对任给ε＞0，以及δ＞0，存在E中可测子集e以及K，使得m(E\e)＜δ，且有
|f_k(x)-f(x)|＜ε (k＞K，x∈e)．
试问这是哪种意义下的收敛？

试证明：
设f(x)是(0，∞)上的可测函数，则F(x，y)=f(y/x)在(0，∞)×(0，∞)上可测．