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2．函数$f(x)=\frac{ \left| x \right|}{x}$在点$x=0$处( )。

A. 极限存在且为$1$
B. 极限存在但不为$1$
C. 极限不存在但在该点附近有界
D. 极限不存在且在该点附近无界

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1．若$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$，则必定( )。

A. $f(0)=1$
B. $f(x)$在原点没定义
C. 在原点的附近$f(x)> 0$
D. 在原点的附近$f(x)\ne 1$

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6．给出以下四个数列：①$\{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\}$； ②$\{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}}\}$； ③$\{\frac{n!}{{{n}^{n}}}\}$； ④$\{\sin \frac{n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\}$。其中是柯西列的数列编号是( )。

A. ① ②
B. ② ③
C. ③ ④
D. ① ④

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5．关于数列，给出下列四个结论：①单调的无界数列一定为无穷大；②无界数列存在无穷大子列；③数列收敛等价于有无穷多个子列收敛；④发散数列存在无穷大子列。其中正确的结论个数是( )。

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

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4. 设$\{({{a}_{n}},{{b}_{n}})\}$是一个开区间序列，且满足条件：①${{a}_{1}}\lt {{a}_{2}}\lt \cdots \lt {{a}_{n}}\lt \cdots \lt {{b}_{n}}\lt \cdots \lt {{b}_{2}}\lt {{b}_{1}}$； ②$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{b}_{n}}-{{a}_{n}})=0$。则( )。

A. 存在唯一的实数$\xi $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$，且$\xi =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}$
B. 存在唯一的实数$\xi $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$，但$\xi \ne \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}$
C. 至少存在两个不同的实数$\xi $和$\eta $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$
D. 不存在实数$\xi $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$

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2．函数$f(x)=\frac{ \left| x \right|}{x}$在点$x=0$处( )。

A. 极限存在且为$1$ B. 极限存在但不为$1$ C. 极限不存在但在该点附近有界 D. 极限不存在且在该点附近无界

1．若$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$，则必定( )。

6．给出以下四个数列：①$\{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\}$； ②$\{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}}\}$； ③$\{\frac{n!}{{{n}^{n}}}\}$； ④$\{\sin \frac{n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\}$。其中是柯西列的数列编号是( )。

5．关于数列，给出下列四个结论：①单调的无界数列一定为无穷大；②无界数列存在无穷大子列；③数列收敛等价于有无穷多个子列收敛；④发散数列存在无穷大子列。其中正确的结论个数是( )。

4. 设$\{({{a}_{n}},{{b}_{n}})\}$是一个开区间序列，且满足条件：①${{a}_{1}}\lt {{a}_{2}}\lt \cdots \lt {{a}_{n}}\lt \cdots \lt {{b}_{n}}\lt \cdots \lt {{b}_{2}}\lt {{b}_{1}}$； ②$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{b}_{n}}-{{a}_{n}})=0$。则( )。

A. 极限存在且为$1$
B. 极限存在但不为$1$
C. 极限不存在但在该点附近有界
D. 极限不存在且在该点附近无界