6．给出以下四个数列：①$\{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\}$； ②$\{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}}\}$； ③$\{\frac{n!}{{{n}^{n}}}\}$； ④$\{\sin \frac{n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\}$。其中是柯西列的数列编号是( )。
A. ① ②
B. ② ③
C. ③ ④
D. ① ④
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5．关于数列，给出下列四个结论：①单调的无界数列一定为无穷大；②无界数列存在无穷大子列；③数列收敛等价于有无穷多个子列收敛；④发散数列存在无穷大子列。其中正确的结论个数是( )。
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
4. 设$\{({{a}_{n}},{{b}_{n}})\}$是一个开区间序列，且满足条件：①${{a}_{1}}\lt {{a}_{2}}\lt \cdots \lt {{a}_{n}}\lt \cdots \lt {{b}_{n}}\lt \cdots \lt {{b}_{2}}\lt {{b}_{1}}$； ②$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{b}_{n}}-{{a}_{n}})=0$。则( )。
A. 存在唯一的实数$\xi $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$，且$\xi =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}$
B. 存在唯一的实数$\xi $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$，但$\xi \ne \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}$
C. 至少存在两个不同的实数$\xi $和$\eta $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$
D. 不存在实数$\xi $属于所有开区间$({{a}_{n}},\ {{b}_{n}})$
3．若数列$\{{{a}_{n}}\}$满足条件$\left| {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}} \right|\le \frac{1}{{{2}^{n}}}$，则( )。
A. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$
B. $\{{{a}_{n}}\}$不一定收敛
C. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=A$且$\left| A-{{a}_{1}} \right|\le 1$
D. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=A$且$\left| A-{{a}_{1}} \right|\gt 1$
2．设$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$存在，$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)$不存在，则( )。
A. $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)]$ 及 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)}$一定都不存在
B. $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)]$ 及 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)}$一定都存在
C. $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)]$ 及$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)}$中恰有一个存在
D. $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)+g(x)]$ 及 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)-g(x)]$一定都不存在
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