3．下列说法中，错误的是
A. $k$是某一个正整数，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a$的充分必要条件是$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n+k}}=a$
B. 若$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$，${{b}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}$，则$\{{{b}_{n}}\}$不一定收敛
C. 若$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a\gt 0$，${{b}_{n}}=\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}}$且$a_n\neq 0$对任意$n\geq 1$成立，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=a$
D. 单调有界数列是柯西数列
2．以下说法中，错误的是
A. 设${{x}_{1}}\gt 0,\ {{y}_{1}}\gt 0,\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}{{y}_{n}}},\ {{y}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}+{{y}_{n}}}{2}(n=2,3,\cdots )$，则$\{{{x}_{n}}\}$与$\{{{y}_{n}}\}$收敛于同一个实数
B. 若$\forall p\in {{\mathbb{N}}^{+}}$，$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,|{{a}_{n+p}}-{{a}_{n}}|=0$，则$\{{{a}_{n}}\}$是柯西数列
C. ${{a}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\sin k}{{{2}^{k}}}}(n\in {{\mathbb{N}}^{+}})$收敛
D. 若$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}} \right|=q\lt 1$，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$
1．下列数列中，收敛但极限不为$1$的是
A. ${{(2+\frac{1}{n})}^{\frac{1}{n}}}$
B. ${{n}^{\frac{1}{n}}}$
C. $\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{2}{{{n}^{2}}+2}+\cdots +\frac{n}{{{n}^{2}}+n}$
D. $\frac{{{(n!)}^{2}}}{{{n}^{n}}}$
2．下列说法中，错误的是( )。
A. 数列$\{{{a}_{n}}\}$单调，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$的充要条件是存在$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的子列$\{{{a}_{{{n}_{k}}}}\}$满足$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{{{n}_{k}}}}=a$
B. 若数列$\{{{a}_{n}}\}$不收敛，则必存在两个子列$\left\{ a_{{{n}_{k}}}^{(1)} \right\}$和$\left\{ a_{{{n}_{k}}}^{(2)} \right\}$分别收敛于两个不同的值
C. 若数列$\{{{a}_{n}}\}$无界，但非无穷大，则必存在一个无穷大子列和一个收敛子列
D. 设$S$为非空有上界的实数集。若$\sup S=a\notin S$，则存在单调增加数列$\{{{a}_{n}}\}\subset S$使得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$
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