题目内容

设随机变量\(X\)的概率密度为\(f_X(x)\)，\(f_X(x)\)的非零表达式所在区间为\((a,b)\)，\(y=g(x)\)在区间\((a,b)\)上单调，当\(x\in(a,b)\)时，\(x=h(y)\)。定义随机变量\(Y=g(X)\)，且\(\alpha=\min\left(g(a),g(b)\right),\;\beta=\max\left(g(a),g(b)\right)\)，则随机变量\(Y\)的概率密度\(f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}f_X(h(y))\left|h^\prime(y)\right|,&\alpha\lt y\lt\beta,\\0,&其他.\\\end{array}\right.\)

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若\(X\sim N(\mu, \sigma^2)\)，则 \(Y=aX+b\sim N\left(a\mu+b, (a\sigma)^2\right)\). 其中\(a\ne 0\).

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