题目内容

6、设随机变量\(X\)的概率密度为\(f_X(x)\)，\(f_X(x)\)的非零表达式所在区间为\((a,b)\)，\(y=g(x)\)在区间\((a,b)\)上单调，当\(x\in(a,b)\)时，\(x=h(y)\)。定义随机变量\(Y=g(X)\)。判断正误：1）概率密度\(f_Y(y)\)的非零表达式所在区间为\((\alpha,\beta)\)，其中\(\alpha=\min\left(g(a),g(b)\right),\;\beta=\max\left(g(a),g(b)\right)\).

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2）当\(y\le\alpha\)时，\(F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P(\emptyset)=0\);当\(y\ge \beta\)时，\(F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P(\Omega)=1\);当\(\alpha\lt y\lt \beta\)时，\(F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}\\\qquad\;\;=\left\{\begin{array}{ll}P\{X\le h(y)\},&y=g(x)在(a,b)上单增，\\P\{X\ge h(y)\},&y=g(x)在(a,b)上单减\\\end{array}\right.\\\qquad\;\;=\left\{\begin{array}{ll}F_X(h(y)),&y=g(x)在(a,b)上单增，\\1-F_X(h(y)),&y=g(x)在(a,b)上单减.\\\end{array}\right.\)

4）如果\(y=g(x)\)在区间\((a,b)\)上不单调，仍然有\(f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}f_X(h(y))\left|h^\prime(y)\right|,&\alpha\lt y\lt\beta,\\0,&其他.\\\end{array}\right.\)

若\(A\cup B=\Omega\)，则 \(A, B\)互为对立事件。

若\(ABC=\varnothing\)，则\(A, B, C\)两两互不相容。