题目内容

$\int_{0}^{+\infty }{\frac{dx}{(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}=$( )

A. $\frac{1}{2}\ln (3+2\sqrt{2})$
B. $\frac{1}{2}\ln (3-2\sqrt{2})$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (3+2\sqrt{2})$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (3-2\sqrt{2})$

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$\int_{{}}^{{}}{\frac{\sin x}{1+\sin x}dx}=$()。

A. $\frac{1}{\cos x}+\tan x+x+C$
B. $\frac{1}{\cos x}-\tan x-x+C$
C. $\frac{1}{\cos x}-\tan x+x+C$
D. $\frac{1}{\cos x}+\tan x-x+C$

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$\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\arctan xdx}=$()。

A. $x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+{{x}^{2}})-\frac{1}{2}{{(\arctan x)}^{2}}+C$
B. $x\arctan x+\frac{1}{2}\ln (1+{{x}^{2}})-\frac{1}{2}{{(\arctan x)}^{2}}+C$
C. $x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+{{x}^{2}})+\frac{1}{2}{{(\arctan x)}^{2}}+C$
D. $x\arctan x+\frac{1}{2}\ln (1+{{x}^{2}})+\frac{1}{2}{{(\arctan x)}^{2}}+C$

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如果函数$f(x)$和$g(x)$可导，那么以下说法中正确的是( )。

A. 若$f(x)$在区间$[a,b]$上单调增加，则$f\prime (x) \gt 0$在$[a,b]$上恒成立
B. 若$f\prime (x)$在区间$[a,b]$上恒为零，则函数$f(x)$在$[a,b]$上恒为常数
C. 若在$[a,b]$上恒有$f\prime (x)=g\prime (x)$，则$f(x)=g(x)$在$[a,b]$上恒成立
D. 若存在$\xi $使得$f\prime (\xi )=0$，则存在$(a,b)$使得$\xi \in (a,b)$，且$f(a)=f(b)$

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如果函数$f(x)$可导，那么以下Lagrange定理的形式错误的是( )。

A. $f(b)-f(a)=f\prime (\xi )(b-a)$，$\xi \in (a,b)$
B. $f(x)=f({{x}_{0}})+f\prime ({{x}_{0}}+\theta \Delta x)\Delta x$，$\theta \in (0,1)$，$\Delta x=x-{{x}_{0}}$
C. $f(b)-f(a)=f\prime (a+\theta (b-a))(b-a)$，$\theta \in (0,1)$
D. $f\prime (a+\theta b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，$\theta \in (0,1)$

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$\int_{0}^{+\infty }{\frac{dx}{(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}=$( )

A. $\frac{1}{2}\ln (3+2\sqrt{2})$ B. $\frac{1}{2}\ln (3-2\sqrt{2})$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (3+2\sqrt{2})$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (3-2\sqrt{2})$

$\int_{{}}^{{}}{\frac{\sin x}{1+\sin x}dx}=$()。

$\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\arctan xdx}=$()。

如果函数$f(x)$和$g(x)$可导，那么以下说法中正确的是( )。

如果函数$f(x)$可导，那么以下Lagrange定理的形式错误的是( )。

A. $\frac{1}{2}\ln (3+2\sqrt{2})$
B. $\frac{1}{2}\ln (3-2\sqrt{2})$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (3+2\sqrt{2})$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (3-2\sqrt{2})$