已知$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=1$，$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=2$，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{1}}{{b}_{n}}+{{a}_{2}}{{b}_{n-1}}+\cdots +{{a}_{n}}{{b}_{1}}}{n}=$
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $\infty $
考察区间$(0,1)$中所有的有理点排成的点列$\left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\cdots \right\}$，给出下列四个结论：① 对任意的$x\in [0,1]$，均有该点列的一个子列收敛于$x$②不存在$x\in [0,1]$，使得该点列的一个子列收敛于$x$③仅存在有限个$x\in [0,1]$，使得该点列的一个子列收敛于$x$④至少存在有限个$x\in [0,1]$，使得该点列的任何一个子列都不收敛于$x$其中正确的结论个数是( )。
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
下列说法中，错误的是( )。
A. 数列$\{{{a}_{n}}\}$单调，则$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$的充要条件是存在$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的子列$\{{{a}_{{{n}_{k}}}}\}$满足$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{{{n}_{k}}}}=a$
B. 若数列$\{{{a}_{n}}\}$不收敛，则必存在两个子列$\left\{ a_{{{n}_{k}}}^{(1)} \right\}$和$\left\{ a_{{{n}_{k}}}^{(2)} \right\}$分别收敛于两个不同的值
C. 若数列$\{{{a}_{n}}\}$无界，但非无穷大，则必存在一个无穷大子列和一个收敛子列
D. 设$S$为非空有上界的实数集。若$\sup S=a\notin S$，则存在单调增加数列$\{{{a}_{n}}\}\subset S$使得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a$
若数列$\{{{a}_{n}}\}$满足条件$\left| {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}} \right|\le \frac{1}{{{2}^{n}}}$，则( )。
A. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$
B. $\{{{a}_{n}}\}$不一定收敛
C. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=A$且$\left| A-{{a}_{1}} \right|\le 1$
D. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=A$且$\left| A-{{a}_{1}} \right|\gt 1$
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